Nacido en París de padres rusos en 1928, pasó su niñez en Milán antes de regresar a la capital francesa y, finalmente, asentarse en los Estados Unidos. En 1948 conoció a Steichen, Robert Capa y Roy Stryker en Nueva York, y Capa le invitó a unirse a la agencia de fotografía Magnum en 1953. Desde entonces, Elliott ha sido miembro del prestigioso grupo donde frecuentemente ocupa el cargo de presidente.
En 1970, comenzó a producir películas, hasta llegar a un total de 17 a lo largo de su carrera, incluyendo documentales, comedias y sátiras. Organiza exposiciones individuales en América, París, Madrid y Londres. En el transcurso de su carrera ha publicado más de 20 libros.